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数I 因数分解

宿題でこのような問題が出されました

x³+y³+8z³-6xyzを因数分解せよ

似たような公式で
a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
がありますが、関係あるのですか…?
解説・答えがないので
ご解説お願いします

投稿日時 - 2017-04-21 22:52:11

QNo.9320273

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回答(4)

ANo.4

簡単に言えば、-6xyz=-3xy・2zで、(2z)^3=8z^3。即ち、cを2zに置き換えれば因数分解できる。

投稿日時 - 2017-04-22 16:47:21

まずは、
a^2+b^2+c^2-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
になることを確認します。
ただ丸暗記するのではなく、なぜこうなるのかを理解することが重要です。

a^3+b^3
=(a+b)^3-3a^2b-3ab^2
=(a+b)^3-3ab(a+b)※1
=(a+b){(a+b)^2-3ab}
=(a+b)(a^2+2ab+b^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)※2
であるから、

a^3+b^3+c^3-3abc
=(a+b)^3-3ab(a+b)+c^3-3abc(※1の形を利用)
={(a+b)^3+c^3}-{3ab(a+b)+3abc}
={(a+b)+c}{(a+b)^2-(a+b)c+c^2}-3ab{(a+b)+c}(※2の形を利用)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+2ab+b^2-ca-bc+c^2-3ab)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

あとは、この式において、a=x、b=y、c=2zとすると、
x^3+y^3+(2z)^3-3*x*y*2z
=x^3+y^3+8z^3-6xyz-与式
=(x+y+2z){x^2+y^2+(2z)^2-xy-y*2z-2zx}
=(x+y+2z)(x^2+y^2+4z^2-xy-2yz-2zx)-答え

投稿日時 - 2017-04-22 05:41:58

ANo.2

No.1です。

[別解]
x³+y³+8z³-6xyz=(x+y)(x²+y²-xy)-6xyz+8z³
=(x+y+2z)(x²+y²-xy)-2z(x²+y²-xy)+8z³
=(x+y+2z)(x²+y²-xy-2(x+y)z+4z²)
=(x+y+2z)(x²+y²+4z²-xy-2xz-2yz)

投稿日時 - 2017-04-22 00:14:48

ANo.1

>x³+y³+8z³-6xyzを因数分解せよ

>似たような公式で
>a³+b³+c³-3abc=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)

この公式を適用すれば
a=x, b=y, c=2z とおいて
x³+y³+8z³-6xyz=左辺=(a+b+c)(a²+b²+c²-ab-bc-ca)
=(x+y+2z)(x²+y²+4z²-xy-2yz-2zx)
と因数分解できます。

投稿日時 - 2017-04-21 23:28:05